Matemática - Equação do 2º grau
Como resolver equações de segundo grau?
Como resolver equações de segundo grau?
Qual é a quantidade necessária de aço para que se construa um tanque esférico com capacidade de 500 mil litros? Há cerca de 2000 anos as sociedades humanas já sabiam expressar sentenças matemáticas com o uso de variáveis. Mas, para tratar de problemas que envolviam, fundamentalmente, cálculo de áreas, como é o caso na questão acima, os homens se viram frente a novos tipos de equações, nas quais a variável aparece elevada ao quadrado. A presença de situações práticas que envolviam esse tipo de equações fez com que se desenvolvessem métodos cada vez mais rápidospara sua resolução. Um importante passo nesse sentido foi dado por Al-Khowarizmi, grandematemático árabe do século IX que,para tanto, utilizou um método geométrico: a formação de quadrados. Com base no Método de Al-Khowarizmi, o hindu Bhaskara desenvolveu uma fórmula que imortalizou seu nome.
1. Equação de segundo grauAs equações de segundo grau, utilizando-se os mesmos critérios deequivalênciada equação de primeiro grau, reduzem-se à seguinte expressão:
ax2 + bx + c = 0
onde a, b e c são números reais, com a 0, e x é a incógnita. Os númerosa, b e c são os coeficientes da equação:
a é o coeficiente de x2
b é o coeficiente de x
c é o termo independente de x
Esta maneira de apresentar a equação de segundo grau recebe o nome de forma ou fórmula geral.
2. Resolução da equação de segundo grauQuando tivermos de resolver uma equação de segundo grau, veremos que, às vezes, elas estão completas, com todos os termos que marcam a forma geral, e em outras ocasiões estão incompletas, como nos seguintes casos:
• 2x2 = 0
a = 2, b = c = 0
• 3x2 + 2 = 0
a = 3, b = 0, c = 2
• 4x2 + 5x = 0
a = 4, b = 5, c = 0
Essas equações devem ser resolvidas diretamente, pois é mais rápido e simples.
Resolução das equações de segundo grau incompletas
• Equações do tipo ax2 = 0. Com a > 0. Solucionamos:
Todas as equações de segundo grau do tipo ax2 = 0 têm por solução x = 0.
• Equações do tipo ax2 + c = 0
Transpomos os termossomando c: a x2 = c
Isolamos:
Se c / a for negativo, não há solução no conjunto dos números reais.
Se c / a for positivo, a equação tem duas soluções:
Todas as equações de segundo grau do tipo ax2 + c = 0têm duas soluções se c / a for positivo.
• Equações do tipo ax2 + bx = 0
Fatoramos a equação tirando o fator comum x: x (ax + b) = 0
É importante considerar que se o produto de dois fatores for 0, pelo menos um deles tem de ser 0. Desta propriedade, deduzimos que:
x = 0 ou ax + b = 0
onde x = 0 já é uma solução. Falta acharmos a solução de ax + b = 0, onde:
Temos, portanto, duas soluções:
Resolução das equações de segundo grau completas
Se tivermos uma equação do tipo: ax2 + bx + c = 0
A solução de uma equação do segundo grau completa é deduzida a partir da transformação de um trinômio do 2º grau em um quadrado perfeito.
Vamos, então, preparar o primeiro membro da equação assinalada utilizando os princípios de equivalência para que seja um quadrado perfeito.
• Transpomos os termos somando c: ax2 + bx = c
• Multiplicamos por 4a: 4a2x2 + 4abx = 4ac
• Somamos b2: 4a2x2 + 4abx + b2 = b2 4ac, o que nos dá no primeiro membro ou então ((2ax + b)2 = b2 4ac
• Extraímos a raiz quadrada:
• Somamos
• Dividimos por 2a:
Finalmente, a equação de segundo grau completa, se b2 4ac for positivo, tem duas soluções:
3. Soluções da equação de segundo grauA existência e o número de soluções da equação ax2 + bx + c = 0 dependem do número b2 - 4ac, a que chamaremos discriminante e representaremos pela letra grega (delta maiúscula).
Discussão do discriminante
• Se < se =" 0,"> 0, há duas soluções reais diferentes:
e
As soluções de uma equação recebem também o nome de raízes da equação. Por raiz da equação entendemos, então, o valor do termo incógnito que satisfaz a igualdade da equação.
4. Relação entre as raízes e os coeficientesNa busca de formas mais simples de se resolver uma equação de segundo grau, os matemáticos encontraram uma interessante relação entre os coeficientes e as raízes que permitiu resolver essas equações com um simples cálculo mental. Essa relação foi percebida ao se fazerem a soma e o produto de suas raízes.
Soma das raízes:
Produto das raízes:
Observando estas operações, podemos facilmente comprovar que, para conhecer a soma e o produto das raízes de uma equação de segundo grau, não é preciso resolver a equação.
Exemplo:
Dada a equação 2x2 + 2x 12 = 0; a = 2, b = 2 e c = 12
Dois números que somados resultam 1 e cujo produto é 6 só podem ser 3 e 2. Portanto, as raízes da equação são 3 e 2.
EXERCÍCIOS
1. Resolver as seguintes equações:a) 4x2 + 16 = 0 b) 5x2 + 7x = 0
2. Resolver a seguinte equação:2x2 + 3x -5 = 0
3. Calcular a soma e o produto das raízes da equação x2 - 6x + 9 = 0. Tirar a prova resolvendo a equação.
ADIVINHAÇÕES
JUSTIFICATIVA: Sendo final de ano temos que trazer atividades onde possamos atrair o aluno de forma em que ele lembre e estude matemática de um jeito indireto e que o mesmo nem perceba que está estudando.
OBJETIVOS: Estimular o raciocínio lógico e atrair os alunos de maneira que eles nem percebam que estão resolvendo exercícios de matemática.
METAS:
· Estimular o raciocínio;
· Reforçar o aprendizado;
· Estimular os alunos a trabalhar em equipe.
AÇÕES:
A professora da sala trouxe adivinhas para fazer com os alunos;
Houve um tipo de “competição” entre os alunos para saber quem sabia responder mais rápido e de maneira correta;
Em seguida eles fizeram com os colegas o mesmo, mas com adivinhas que eles aprenderam na rua e até mesmo com familiares.
EQUIPAMENTOS / MATERIAIS UTILIZADOS: Adivinhações cedidas na D.E.
CAMPEONATO DE ADIVINHAS DE MATEMÁTICA
1. Quando é que tenho 4 tiro 1 fica 5?
2. Num avião iam 4 romanos e 1 inglês. Qual é o nome da aeromoça?
3. Quando é que 1 + 1 é igual a 3?
4. Quando é que nove menos um é, igual a 10?
5. O que o livro de matemática disse para o de português?
6. Qual é a diferença entre uma lagosta de seis meses e um elefante de 14 anos?
7. De que lado fica a asa da xícara?
8. O que é que quanto menos se perde mais se tem?
9. O que é quanto mais curto mais se prende?
10. O que é que quando mais se tem menos se sabe o que fazer com ele?
11. E o ultimo a subir e o primeiro a descer. O que é?
12. O que a máquina de somar disse para o contador?
13. O que é que quando se perde nunca mais se encontra?
14. O que é que fica mais baixo com a cabeça do que sem ela?
15. O que é que tem 4 boca e não fala nunca?
16. 16. O que é que quanto mais se tira mais se tem?
17. 17. O que é que quanto mais se tira maior fica?
18. O que é que nunca está no começo e nunca está no fim?
19. O que é que quanto mais cresce, mais perto fica do chão?
20. O que é que quanto mais se corta maior se fica?
21. O que é uma árvore com doze galhos, cada galho com 30 frutas, cada fruta com vinte e quatro sementes?
22. Uma casa de quatro cantos, cada canto tem um gato, cada gato vê três gatos, quantos gatos tem na casa?
23. É leve como o ar, mas ninguém consegue segurar por mais de alguns segundos?
24. O que é que tem 24 pés?
25. Qual é a medida que é uma fera?
26. Qual é a metade de 2 + 2?
27. Qual é a diferença entre um avarento e o vento?
28. Qual é a diferença entre a aurora e o pôr-do-sol?
29. Qual é a palavra que tem 4 letras, mas vale sete?
30. Quando é que o relógio vira mulher?
31. Como é que os relojoeiros resolvem uma briga?
32. Onde é que as palavras valem mais do que a mensagem?
OBJETIVOS: Estimular o raciocínio lógico e atrair os alunos de maneira que eles nem percebam que estão resolvendo exercícios de matemática.
METAS:
· Estimular o raciocínio;
· Reforçar o aprendizado;
· Estimular os alunos a trabalhar em equipe.
AÇÕES:
A professora da sala trouxe adivinhas para fazer com os alunos;
Houve um tipo de “competição” entre os alunos para saber quem sabia responder mais rápido e de maneira correta;
Em seguida eles fizeram com os colegas o mesmo, mas com adivinhas que eles aprenderam na rua e até mesmo com familiares.
EQUIPAMENTOS / MATERIAIS UTILIZADOS: Adivinhações cedidas na D.E.
CAMPEONATO DE ADIVINHAS DE MATEMÁTICA
1. Quando é que tenho 4 tiro 1 fica 5?
2. Num avião iam 4 romanos e 1 inglês. Qual é o nome da aeromoça?
3. Quando é que 1 + 1 é igual a 3?
4. Quando é que nove menos um é, igual a 10?
5. O que o livro de matemática disse para o de português?
6. Qual é a diferença entre uma lagosta de seis meses e um elefante de 14 anos?
7. De que lado fica a asa da xícara?
8. O que é que quanto menos se perde mais se tem?
9. O que é quanto mais curto mais se prende?
10. O que é que quando mais se tem menos se sabe o que fazer com ele?
11. E o ultimo a subir e o primeiro a descer. O que é?
12. O que a máquina de somar disse para o contador?
13. O que é que quando se perde nunca mais se encontra?
14. O que é que fica mais baixo com a cabeça do que sem ela?
15. O que é que tem 4 boca e não fala nunca?
16. 16. O que é que quanto mais se tira mais se tem?
17. 17. O que é que quanto mais se tira maior fica?
18. O que é que nunca está no começo e nunca está no fim?
19. O que é que quanto mais cresce, mais perto fica do chão?
20. O que é que quanto mais se corta maior se fica?
21. O que é uma árvore com doze galhos, cada galho com 30 frutas, cada fruta com vinte e quatro sementes?
22. Uma casa de quatro cantos, cada canto tem um gato, cada gato vê três gatos, quantos gatos tem na casa?
23. É leve como o ar, mas ninguém consegue segurar por mais de alguns segundos?
24. O que é que tem 24 pés?
25. Qual é a medida que é uma fera?
26. Qual é a metade de 2 + 2?
27. Qual é a diferença entre um avarento e o vento?
28. Qual é a diferença entre a aurora e o pôr-do-sol?
29. Qual é a palavra que tem 4 letras, mas vale sete?
30. Quando é que o relógio vira mulher?
31. Como é que os relojoeiros resolvem uma briga?
32. Onde é que as palavras valem mais do que a mensagem?
TANGRAM
Muitos conhecem o Tangram, um quebra-cabeça chinês, de origem milenar. Seu nome original é: Tch´ i Tch´ iao Pan, significa as sete tábuas da argúcia. Ao contrário de outros quebra-cabeças ele é formado por apenas sete peças com formas geométricas resultantes da decomposição de um quadrado, são elas:
O professor pode iniciar a apresentação deste jogo-material pedagógico contando uma lenda sobre o Tangram, assim:
Um jovem chinês despedia-se de seu mestre, pois iniciaria uma grande viagem pelo mundo. Nessa ocasião, o mestre entregou-lhe um espelho de forma quadrada e disse:
- Com esse espelho você registrará tudo o que vir durante a viagem, para mostrar-me na volta.
O discípulo surpreso, indagou:
- Mas mestre, como, com um simples espelho, poderá eu lhe mostrar tudo o que encontrar durante a viagem?
No momento em que fazia esta pergunta, o espelho caiu-lhe das mãos, quebrando-se em sete peças.
Então o mestre disse:
- Agora você poderá, com essas sete peças, construir figuras para ilustrar o que viu durante a viagem.
Com o uso do Tangram o professor pode trabalhar:
JUSTIFICATIVA:Despertar o interesse pelo estudo e o estimular a desenvolver a própria criatividade.
OBJETIVOS: Desenvolver o prazer pelo estudo.
METAS: Sugeri que os alunos acomodados em grupos utilizassem as sete peças do Tangram para construção de qualquer figura geométrica.
AÇÕES:
1. Os alunos conheceram a história do Tangram;
2. Conheceram o nome de cada parte do Tangram;
3. Fizeram os cortes necessários;
4. Usaram a criatividade para criar desenhos com formas geométricas;
5. Calculo de área.
EQUIPAMENTOS / MATERIAIS UTILIZADOS: Sulfite, papel cartão, lápis de cor, tesoura, cola.
- 2 triângulos grandes,
- 2 triângulos pequenos,
- 1 triângulo médio,
- 1 quadrado,
- 1 paralelogramo.
Com estas peças é possível criar e montar cerca de 1700 figuras entre animais, plantas, pessoas, objetos, letras, números, figuras geométricas entre outras. Veja:
O professor pode iniciar a apresentação deste jogo-material pedagógico contando uma lenda sobre o Tangram, assim:
Um jovem chinês despedia-se de seu mestre, pois iniciaria uma grande viagem pelo mundo. Nessa ocasião, o mestre entregou-lhe um espelho de forma quadrada e disse:
- Com esse espelho você registrará tudo o que vir durante a viagem, para mostrar-me na volta.
O discípulo surpreso, indagou:
- Mas mestre, como, com um simples espelho, poderá eu lhe mostrar tudo o que encontrar durante a viagem?
No momento em que fazia esta pergunta, o espelho caiu-lhe das mãos, quebrando-se em sete peças.
Então o mestre disse:
- Agora você poderá, com essas sete peças, construir figuras para ilustrar o que viu durante a viagem.
Com o uso do Tangram o professor pode trabalhar:
- identificação,
- comparação,
- descrição,
- classificação,
- desenho de formas geométricas planas,
- visualização e representação de figuras planas,
- exploração de transformações geométricas através de decomposição e composição de figuras,
- compreensão das propriedades das figuras geométricas planas,
- representação e resolução de problemas usando modelos geométricos,
- noções de áreas,
- frações.
Projeto
JUSTIFICATIVA:Despertar o interesse pelo estudo e o estimular a desenvolver a própria criatividade.
OBJETIVOS: Desenvolver o prazer pelo estudo.
METAS: Sugeri que os alunos acomodados em grupos utilizassem as sete peças do Tangram para construção de qualquer figura geométrica.
AÇÕES:
1. Os alunos conheceram a história do Tangram;
2. Conheceram o nome de cada parte do Tangram;
3. Fizeram os cortes necessários;
4. Usaram a criatividade para criar desenhos com formas geométricas;
5. Calculo de área.
EQUIPAMENTOS / MATERIAIS UTILIZADOS: Sulfite, papel cartão, lápis de cor, tesoura, cola.
DOMINÓ MATEMÁTICO
OBJETIVOS: Desenvolver o prazer pelo estudo, exercitar o raciocínio, ativando a capacidade de cada um.
METAS:
· Estimular o raciocínio;
· Reforçar o aprendizado;
· Estimular os alunos a trabalhar em equipe.
AÇÕES: Foi fornecido o xérox do jogo para cada dupla, apenas um lápis de cor e um apontador para todos os alunos (para que aprendam a ser solidários, trabalhar com pouco material, ter consciência de que dependemos do próximo). Colaram no papel cartão, recortaram e depois brincaram.
EQUIPAMENTOS / MATERIAIS UTILIZADOS: Peças com fatores e outras com os resultados.
QUAL É A ÁREA DE UMA FOLHA?
OBJETIVOS:
· Obtenção de valores de áreas (aproximada).
· Compreensão dos conceitos matemáticos e procedimentos matemáticos.
METAS: Estimular o aluno a aprender a calcular áreas de forma lúdica e prazerosa, pois utilizará sempre em seu dia-dia.
AÇÕES:
· Os alunos trouxeram folhas de árvores de formas variadas.
· Risque o contorno em uma folha em um papel quadriculado.
· Conte os quadradinhos (que valem 1 cm²); onde os espaços quebrados devem ser compensados.
EQUIPAMENTOS / MATERIAIS UTILIZADOS: Folhas de árvores de formas variadas, papel quadriculados, lápis, caneta hidrocor, lápis de cor.
CONSTRUÇÃO DE FIGURAS GEOMÉTRICAS TRIDIMENSIONAIS
OBJETIVOS: Manipular e fazer a construção de formas geométricas tridimensionais e bidimensionais.
METAS:
Identificar as suas características,
Perceber semelhanças e diferenças entre elas (superfícies planas e arredondadas, formas das faces, simetrias),
Reconhecer os elementos que se compõem (faces, arestas, vértices, lados, ângulos).
AÇÕES:
Foi fornecido o xérox das figuras geométricas para cada aluno e lápis de cor,
Recortaram e montaram as figuras geométricas,
Depois das figuras montadas, puderam visualizar de maneira concreta cada um dos elementos encontrados em cada uma.
EQUIPAMENTOS / MATERIAIS UTILIZADOS: Xérox, lápis de cor, caneta hidrocor, cola e tesoura.
ANDANDO NA TRILHA DAS FORMAS GEOMÉTRICAS
OBJETIVOS:Os jogos em geral exigem disciplina e obediência a convenções, mas, estimulada pelo objetivo do jogo e pelo prazer da competição, a criança desenvolve habilidades que lhe possibilitam compreender a matemática de maneira natural e agradável.
METAS:
· Estimular o raciocínio;
· Reforçar o aprendizado;
· Estimular os alunos a trabalhar em equipe.
AÇÕES: Cada um na sua vez, os participantes jogam um dado e, de acordo com o número obtido, avançam até uma casa onde está o desenho de uma forma geométrica. Se sair:
3 ou 6, para o desenho da forma espacial mais próximo
· 2 ou 5, para o desenho da forma plana (região) mais próxima
· 1 ou 4, para a casa do contorno de forma plana mais próxima
Ao atingir a casa, o participante deve falar o nome da forma geométrica. Se acertar, avança mais uma casa. Vence o jogo quem cair na casa que tem as 3 formas geométricas e disser corretamente o nome delas.
EQUIPAMENTOS / MATERIAIS UTILIZADOS: Trilha com formas geométricas e dado.
